Monday, 9 August 2021, 4:59 AM
Site: מתמטיקה 5 יחידות
Course: שאלון 581 (שאלון 581)
Glossary: מושגים כלליים הקשורים להסתברות
דוד קודיש

הסתברות למאורע

הסיכוי לקבלת מאורע מסויים. ההסתברות שווה למספר האפשרויות לקבלת המאורע חלקי כל האפשרויות הקיימות.

לדוגמה:

הסיכוי למאורע  "קבלת מספר זוגי בהטלת קוביה" הוא \( \frac{3}{6} \)

אם המאורע מסומן באות A, מסמנים את הסיכוי למאורע כ- \( P(A)=\frac{3}{6} \)

הסתברות מותנית

הסתברות מותנית היא החישוב שבעזרתו נחשב את הסיכוי למאורעות תלויים.


הסימון המקובל הוא: \( P(A | B) \) וקוראים את זה בתור הסיכוי ש- A יקרה אם ידוע ש- B קרה.

הנוסחה לחישוב הסתברות של מאורע A במקרה זה היא: \( P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \)  או (לאחר העברת אגפים): \( P(A \cap B)=P(A | B) P(B) \)

הדרך הפשוטה לחישוב הסתברות מותנית היא: \( P(A | B)=\frac{מה שמעניין}{מה שידוע} \)


מאורע

תוצאה אפשרית אחת או יותר מתוך מגוון תוצאות אפשריות. 

לדוגמה: קבלת תוצאה של 4 בהטלת בקוביה, קבלת מספר זוגי בהטלת קוביה, לידה של בן, לאדם יש עיניים כחולות

נהוג לסמן כל ארוע באות גדולה. למשל: 

  • A - קבלת תוצאה של 4 בהטלת קוביה
  • B - לידה של בן


מאורע משלים

כל התוצאות האפשריות שאינן מתאימות לדרישות המאורע. 

נהוג לסמן ארוע משלים של הארוע A בתור \( \overline{A} \)

לדוגמה: 

A - קבלת מספר 4 בהטלת קוביה

הסתברות למאורע: \( P(A)=\frac{1}{6} \)

מאורע משלים - קבלת המספרים 1,2,3,5,6 בהטלת קוביה

הסתברות למאורע המשלים: \( P(\overline{A})=\frac{5}{6} \)


מתוך זה שההיפך מ- A הוא \( \overline{A} \)\( P(A)+P(\overline{A})=1 \)


מאורעות בלתי תלויים

מאורעות נקראים בלתי תלויים אם העובדה שמאורע A קרה לא משפיע על הסיכוי שמאורע B יקרה. 

לדוגמה: 

 בהטלת קוביה פעמיים, תוצאת הזריקה הראשונה לא משפיעה על תוצאת הזריקה השניה.

הסיכוי שלמישהו יש עיניים כחולות, לא משפיע על הסיכוי שירד מחר גשם

במאורעות בלתי תלויים מתקיים: \( P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B) \) וזו גם אחת הדרכים להוכיח ששני מאורעות הם בלתי תלויים


מאורעות זרים

שני אירועים שהחיתוך שלהם ריק, כלומר לא יכולים לקרות ביחד, הם מאורעות זרים.

דוגמה 1: בהטלת קוביה המאורע של קבלת מספר גדול מ- 3 והמאורע של קבלת מספר קטן מ-3 הם מאורעות זרים כי אין שום מקרה משותף להם.

דוגמה 2: הסיכוי שעכשיו חנוכה והסיכוי שעכשיו פורים הם מאורעות זרים כי הם לא יכולים לקרות יחד.


מאורעות תלויים

מאורעות הם תלויים אם הסיכוי ש- B יקרה מושפע מהסיכוי ש- A קרה 

לדוגמה:

הסיכוי שירד גשם מחר, מושפע מזה שעכשיו חורף

הסיכוי להצליח במועד ב', תלוי בסיכוי להצליח במועד א' 

הסיכוי לקבל סכום של 8 בהטלת שתי קוביות בזה אחר זה, תלוי בתוצאה של ההטלה הראשונה (אם קיבלנו 6 בקוביה הראשונה הסיכוי גבוה, ואם קיבלנו 1 בהטלה הראשונה, הסיכוי הוא 0).